Die Mercator-Projektion als Lösung einer Anfangswertaufgabe (Kinematik)

Die Mercator-Abbildung einer Kugel (Kugelzone) in die Ebene wird als exakte Lösung einer Anfangswertaufgabe (AWA) betrachtet. Hierzu existieren gewöhnliche Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung. Zur Zeit t = t₁ erkennen wir ein Anfangsbild, die Projektion einer Kugelzone z.B. der Erdkugel in die (y,z)-Ebene. Für t > t₁ ergeben die Lösungen der AWA eine Bildfolge, die für t ¥ gegen die Mercator-Abbildung der Kugelzone in die Ebene strebt. Das Problem der periodischen Bilder der Kugelzone (n-fache Umläufe) ist mit der dargestellten Theorie als Lösung einer AWA erklärbar. Grundlage ist das vom Autor eingeführte Koordinatensystem metrischer Mercator-Kugelkoordinaten P(r,y,z). In diesem Koordinatensystem ist der Punkt P im R³ der Schnitt dreier biharmonischer Flächen. Die metrische Größe z mit der Dimension [m] verhält sich direkt proportional zum minimalen Hauptkrümmungshalbmesser der biharmonischen Fläche z=const. (Drehfläche). Mit der Wahl des einfachsten Ansatzes r = ct, eingeführt in das Kooordinatensystem metrischer Mercator-Kugelkoordinaten, folgt die Verbindung zur Kinematik. Der Beitrag enthält drei Beispiele.

The Mercator mapping of a sphere (spherical zone) into a plane is presented in form of an exact solution of an initial value problem (IVP). There are respective ordinary differential equations of the f/irst and second order. At the time point t = t₁ there is an initial pattern representing a projection of a spherical zone (for instance of the Earth sphere) into the (y,z)-plane. For t > t₁, the solutions of IVP yield a sequence of patterns, which converge for t ¥ towards the Mercator mapping of a spherical zone into a plane. The problem of periodicity of patterns of the spherical zone (due to multiple revolutions) can be explained using the proposed theory as a solution of an IVP. The basis is the coordinate system of metrical Mercator spherical coordinates P(r,y,z), which was introduced by the author. With respect to this system a point P in R³ is an intersection of three biharmonic surfaces. The metrical quantity z with the dimension [m] is directly proportional to the minimum of the main curvature radius of the biharmonic surfaces z=const. (surface of revolution). Choosing the simplest possible hypothesis r = ct and introducing it into the coordinate system of metrical Mercator spherical coordinates results in a relation with kinematics. The contribution contains three examples.