Bestimmung von Messunsicherheiten mittels Bootstrapping in der Formanalyse

Michael Lösler, Cornelia Eschelbach, Rüdiger Haas

doi:10.12902/zfv-0214-2018

Zusammenfassung

In den messenden Disziplinen gehören die statistischen Methoden des Leitfadens zur Angabe der Unsicherheit beim Messen wie beispielsweise das Unsicherheitsfortpflanzungsgesetz oder die der Monte-Carlo-Simulation zu den verbreitetsten für das Ableiten von Messunsicherheiten. Die Anwendung dieser Methoden setzt voraus, dass die statistische Verteilung der erhobenen Stichprobe bekannt ist. Dies kann in der Praxis nicht immer vollständig erfüllt werden. In der deskriptiven Statistik sind Verfahren zum Ermitteln von Unsicherheiten bekannt, die keine Kenntnis bzgl. der statistischen Verteilung der Beobachtungen voraussetzen. Zu diesen Verfahren zählt das Bootstrapping. In diesem Beitrag wird das Bootstrapping für die Bestimmung der Konfidenzbereiche der Formparameter eines allgemeinen elliptischen Ring-Focus-Paraboloids im Rahmen der Formanalyse demonstriert. Zur Ableitung der Überdeckungswahrscheinlichkeit wird die statistische Verteilung der Parameter mittels Kerndichteschätzung approximiert und ein Konfidenzbereich sowohl für die Formparameter als auch für die resultierende Brennfläche angegeben.

Summary

The methods of the Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, e. g. law of propagation of uncertainty or Monte-Carlo simulations, are the most applied guidelines in the framework of measurement sciences. These methods require a-priori knowledge of the statistical distribution of the taken sample. However, in some practical cases, this condition cannot be fulfilled. In descriptive statistics, analysis methods are known that do not required knowledge of the underlying distribution of the data. One well-known algorithm is the bootstrapping. In this contribution, the bootstrap algorithm is applied to the surface analysis to derive confidence intervals of estimated parameters, exemplified by the adjustment of an elliptic ring-focus paraboloid. Introducing kernel density estimation, the unknown probability density functions of the estimates are approximated and transformed to the resulting focal area to derive the level of confidence of the intervals.