Closed form solution of the triple three-dimensional intersection problem

Im vorliegenden Beitrag wird eine reduzierte Gröbner Basis benutzt, um eine geschlossene Lösung des für Photogrammetrie und Computervision zentralen Problems des dreidimensionalen Geradenschnittproblems herzuleiten. Es wird gezeigt, dass die drei nichtlinearen Gleichungen, die die beobachteten Horizontalrichtungen T_i und Vertikalrichtungen B_i, i = 1, 2, 3 mit der gesuchten Position verknüpfen, in drei Polynome vierten Grades zerlegt werden können. Die Nullstellen dieser Polynome können durch das »solve«-Kommando der MATLAB-Software bestimmt werden. Der Vorteil der beschriebenen Vorgehensweise besteht darin, dass bereits beim Vorliegen der minimalen Anzahl von drei bekannten Punkten das Geradenschnittproblem gelöst werden kann. Dieser Algorithmus kann in der Photogrammetrie dazu genutzt werden, die Koordinaten von Passpunkten zu bestimmen, wenn nur drei Stationen mit bekannten Koordinaten zur Verfügung stehen.

The reduced Groebner basis is here applied to offer a closed form solution to the three-dimensional intersection problem vital in Photogrammetry and Computer vision. From the observations of type horizontal directions T_i and vertical directions B_i, with i = 1, 2, 3, we demonstrate that the three nonlinear system of equations can be decomposed to three quartic polynomials, i.e. polynomials of degree four, whose roots can be obtained with the help of solve command in Matlab software. The advantage is that when one is faced with the minimum number of known points, here three, one can still carry out an intersection to obtain the coordinates of the desired point. In Photogrammetry, the procedure could be used to obtain the coordinates of pass points where known stations are limited only to the minimum number.