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Total Least Squares (TLS) im Kontext der Ausgleichung nach kleinsten Quadraten am Beispiel der ausgleichenden Geraden

Dieser Beitrag ist in der zfv 3/2008 erschienen.

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Zusammenfassung: 

In diesem Beitrag wird eine ausgleichende Gerade in der Ebene behandelt, bei der beide Koordinatenkomponenten mit zufälligen Fehlern behaftete Messgrößen sind. Es wird gezeigt, dass eine sachgerechte Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate dasselbe Ergebnis liefert wie die entsprechende Anwendung von Total Least Squares (TLS), da in beiden Fällen dieselbe Zielfunktion minimiert wird. Somit kann TLS nicht als eine neue Ausgleichungsmethode angesehen werden, sondern lediglich als eine weitere Möglichkeit zur Formulierung von Ausgleichungsproblemen, die gleichberechtigt neben dem Gauß-Markov- und dem Gauß-Helmert-Modell einzustufen ist. Die so genannte TLS Problemstellung für die ausgleichende Gerade kann daher durch eine korrekte Auswertung des nichtlinearen Gauß-Helmert-Modells gelöst werden. Anders lautende Auffassungen in der Literatur lassen sich darauf zurückführen, dass lediglich eine näherungsweise Auswertung des Gauß-Helmert-Modells betrachtet wird. Anhand eines numerischen Beispiels wird die sachgerechte Auswertung des nichtlinearen Gauß-Helmert-Modells für die ausgleichende Gerade gezeigt.

Summary: 

In this paper the adjustment of a straight-line in plane is considered for the case when both coordinate components are observations and therefore affected by random errors. It is shown that an appropriate application of the least-squares method yields the same result as the corresponding Total Least Squares (TLS) approach due to the fact that the same target function is minimised. Hence, TLS cannot be regarded as a new method of adjustment. It can simply be classified as another approach for modelling a least-squares problem in addition to the Gauss-Markov or the Gauss-Helmert model. Therefore, the so called TLS problem for the straight-line can be solved by a rigorous evaluation of the nonlinear Gauss-Helmert model. Contrary opinions in the literature are due to the fact that therein an approximate evaluation of the Gauss-Helmert model is carried out, only. A numerical example for an appropriate evaluation of the nonlinear Gauss-Helmert model for the straight-line case is given.

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