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Automatisches Differenzieren zum Lösen nichtlinearer Gleichungssysteme in der Ausgleichungsrechnung

Dieser Beitrag ist in der zfv 1/2015 erschienen.

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Zusammenfassung: 

Die Bestimmung von partiellen Ableitungen ist integraler Arbeitsschritt der Ausgleichungsrechnung. Die Anwendung der hier behandelten Differentiationsarithmetik ermöglicht eine exakte und automatische Bestimmung von Werten partieller Ableitungen beliebiger Ordnung simultan zur Berechnung von Funktionswerten ohne die analytische Form dieser zu kennen. Der vorliegende Beitrag behandelt die Anwendung des automatischen Differenzierens (AD) für Aufgaben der Ausgleichungsrechnung im Gauß-Markov-Modell und wendet sich vor allem an Personen, die Software für die Lösung von Ausgleichungsproblemen entwickeln. Der Vorteil von AD ist, dass sich der Programmieraufwand auf die Implementierung des funktionalen Modells beschränkt, da die Linearisierung durch eine eigenständige Algebra automatisch realisiert wird. Dadurch wird die Softwareentwicklung schneller und robuster.
Als Alternative zum bekannten Gauß-Newton-Verfahren lässt sich das Newton-Raphson-Verfahren (NR) mit AD einfach implementieren und anwenden. Es wird gezeigt, wie mittels NR die Anwendung robuster M-Schätzer ohne das übliche Verfahren der »Regewichtung« erfolgen kann. Eine simulierte Ausgleichungsrechnung mit drei robusten Schätzern demonstriert Relevanz und Mehrwert des Einsatzes von AD.

Summary: 

The computation of partial derivatives is an integral step in adjustment calculus. The application of the here discussed differential arithmetic enables the exact and automated determination of the values of partial derivatives of arbitrary order. This is done simultaneously during the computation of function values without knowledge about the corresponding equations. This article focuses on the application of automatic differentiation (AD) in the context of adjustment calculus in Gauss-Markov-models and therefore addresses to software engineers. The advantage of AD is the restriction of programming efforts to the implementation of the functional model, since linearization is done using an independent algebra. Hence, software engineering gets faster and more robust.
The Newton-Raphson method (NR) is an alternative to the well-known Gauss-Newton method and can easily be implemented and applied using AD. It is shown how NR can be used to apply robust M-estimators without the common approach of »re-weighting«. A simulated example estimation with three robust estimators demonstrates the relevance and value of AD.

Beitrag als PDF: 
DOI: 
10.12902/zfv-0043-2014