Startseite | zfv | On the Numerical Problems of Spherical Harmonics: Numerical and Algebraic Methods Avoiding Instabilities of the Associated Legendre’s Functions

On the Numerical Problems of Spherical Harmonics: Numerical and Algebraic Methods Avoiding Instabilities of the Associated Legendre’s Functions

Dieser Beitrag ist in der zfv 5/2011 erschienen.

Zusammenfassung / Summary / kostenfreier PDF-Download
Zusammenfassung: 

In vielen Anwendungen ist es gebräuchlich, das Erdschwerefeld in eine Kugelfunktionsreihe zu entwickeln. Sobald jedoch hochfrequente Strukturen dargestellt werden sollen, kann es zu numerischen Instabilitäten bei der Berechnung der Kugelfunktionen kommen. Zur Bewältigung dieser Probleme stehen sowohl numerische als auch mathematische Methoden zur Verfügung. Auf numerischer Seite wird üblicherweise versucht, die Bandbreite der darstellbaren reellen Zahlen zu erhöhen. Hierzu wählt man entweder ein entsprechendes Standardformat für die Darstellung von Fließkommazahlen, oder man verwendet eine spezielle Bibliothek für Darstellungen mit beliebiger Genauigkeit. Im Rahmen der mathematischen Methoden wird versucht, den Wertebereich der Kugelfunktionen auf algebraische Weise einzuschränken, indem normierte bzw. skalierte Varianten der ursprünglichen Funktionen verwendet werden.
Im vorliegenden Beitrag werden bestehende numerische und mathematische Methoden zur Vermeidung numerischer Instabilitäten bei der Berechnung von Kugelfunktionen diskutiert. Die jeweiligen Beschränkungen werden anhand numerischer Experimente dargelegt. Damit lässt sich zeigen, dass derzeit verfügbare rechentechnische Methoden und einfache mathematische Manipulationen eine stabile Berechnung der Kugelfunktionsentwicklungen bis über Grad und Ordnung 20000 hinaus ermöglichen.

Summary: 

Spherical harmonics are widely used to describe the structure of the Earth’s gravity field. When detailed features of the Earth’s gravity field are required one may be confronted with numerical problems of spherical harmonics. These problems can be treated by numerical and algebraic methods. Extending the range of real numbers on computer is preferred in numerical methods. This can be achieved by choosing a proper standard floating point arithmetic format or by extended-range arithmetic and arbitrary precision libraries. In algebraic methods the range of the magnitudes of the spherical harmonics is reduced by algebraic manipulations. Based on the algebraic methods normalized and scaled equivalents of the spherical harmonics can be derived.
In the present contribution numerical and algebraic methods avoiding the numerical problems of the spherical harmonics are discussed. Limits of the numerical and algebraic methods are studied in a numerical experiment. It is shown that current computer facilities and simple algebraic manipulations allow evaluation of the spherical harmonic expansions above degree and order 20000.

Beitrag als PDF: