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Changing residuals by reweighting one or more observations

Dieser Beitrag ist in der zfv 4/2003 erschienen.

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Zusammenfassung: 

In der M-Schätzung wird im Allgemeinen die Methode der kleinsten Quadrate mit iterativer Neugewichtung benutzt. Dabei werden die neuen Gewichte einiger Beobachtungen entsprechend der absoluten Werte ihrer Verbesserungen in jedem Schritt verkleinert. Es wird erwartet, dass die absoluten Werte dieser Verbesserungen sich dabei vergrößern. Dabei stellt sich die Frage, ob das immer der Fall ist. Was geschieht, falls die Gewichte einiger Beobachtungen sich vergrößern? Wir untersuchen in diesem Beitrag, wie die absoluten Werte der Verbesserungen bei einer Beobachtung oder bei mehreren Beobachtungen variieren, nachdem ihre Gewichte geändert wurden. Schließlich weisen wir nach, dass die absoluten Werte der Verbesserungen sich nicht immer vergrößern, wenn ihre Gewichte verkleinert werden. Die Verkleinerung der Gewichte bei einigen zufällig ausgewählten Beobachtungen sollte die Möglichkeit geben, kleine Ausreißer zu entdecken.

Zusammenfassung: 

M-Estimation usually uses iteratively reweighted Least Squares Estimation (LSE). At each stage, the weights of some of the observations are reduced with respect to the absolute values of the related residuals from LSE. Thus, it is expected that the absolute values of these residuals increase. Is this really always the case? Further, what happens if we increase the new weights of some of the observations? In this paper, we have investigated how absolute values of residuals of one or more observations from LSE change after changing the weights of the corresponding observations. We have proved that weight reduction only causes an increase in the absolute values of the LSE residuals with a certain probability. However, reducing the weights of some of the randomly chosen observations may create the opportunity to detect small outliers.