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Polynomial optimization of the 7-parameter datum transformation problem when only three stations in both systems are given

Dieser Beitrag ist in der zfv 4/2003 erschienen.

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Zusammenfassung: 

Der Gauß-Jacobi Kombinatorik-Algorithmus ist in der Lage, eine Datumtransformation [7-Parameter Ähnlichkeitstransformation, konforme Gruppe C7(3)] auch im überbestimmten Fall in geschlossener Form – ohne Linearisierung – als Lösung darzustellen. Hier widmen wir uns dem klassischen Fall, aus den gegebenen Koordinaten dreier Punkte im alten und neuen Koordinatensystem die sieben Parameter einer Ähnlichkeitstransformation (drei Parameter der Translation, drei Parameter der Rotation, ein Parameter des Maßstabes, auch Dilatation genannt) ohne Linearisierung des Gleichungssystems zu bestimmen: Neun nichtlineare Gleichungen stehen sieben unbekannten Datumparametern gegenüber. 36 Gauß-Jacobi Kombinationslösungen werden präsentiert, die mittels des Gröbner Basis Algorithmus im ersten Schritt bestimmt werden. Aus jeder Untermenge der Lösungen werden {7 x 36 = 252} Lösungen konstruiert, die im zweiten Schritt auf eine Lösung als gewogenes Mittel der Einzellösungen, (Ausgleichung direkter Pseudo-Beobachtungen, L2-Norm Approximation) reduziert werden. Das Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert die Varianz-Kovarianz Matrix der Einzellösungen, ihre Inverse die Gewichtsmatrix für das gewogene Mittel (»Baryzentrum«). Der methodische Vorteil der vorgelegten Lösung einer Helmert-Transformation besteht im Folgenden: Die algebraische »Software« vom Typ Mathematica und Maple zur Lösung algebraischer Gleichungen (polynomische Gleichungssysteme) benötigt keine Näherungswerte und keine Iterationen. Die Varianz-Kovarianz-Matrizen alter und neuer Koordinaten finden vollständige Berücksichtigung.

Summary: 

We present here the Gauss-Jacobi combinatorial algorithm to solve in a closed form the overdetermined problem of 7-parameter datum transformation with only bare minimum number of points (i.e. three points in both coordinate systems). From the nine 7-parameter datum transformation equations, 36 minimum combinatorial subsets, each comprising seven equations are formed and solved using the Groebner basis algorithm in the first step. With each minimal combinatorial subset yielding seven elements of the solution set, a total of {7 x 36 = 252} solutions are formed. The 252 minimum combinatorial solutions are reduced to their final adjusted values in step two by means of their weighted mean via the nonlinear error/variance-covariance propagation. The advantage is that the Groebner basis algorithm (the computing engine of the Gauss-Jacobi combinatorial algorithm), which is already implemented in algebraic software such as Mathematica and Maple, does not require approximate starting values, as is always the case with traditional procedures (iterative/linearization). The procedure makes it possible for the stochasticity of both coordinate systems involved to be taken into account and becomes handy in a situation where only minimum points are given with no knowledge of the initial approximate values.

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