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Zur statistischen Begründung des Regressionsmodells der balancierten Ausgleichung

Dieser Beitrag ist in der zfv 3/2004 erschienen.

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Zusammenfassung: 

Für die Methode der balancierten Ausgleichung wird ein Modell vorgestellt, das die statistischen und geometrischen Anforderungen an die Ausgleichung widerspruchsfrei vereinigt. Dies wird möglich, wenn anstelle einer Normalverteilung für die Residuen die LAPLACE-Verteilung angenommen wird. Weil diese in einem zweistufigen Zufallsprozess durch normalverteilte Residuen mit exponentialverteilten Streuungen erzeugt werden kann, lassen sich für die Residuen lineare Schätzfunktionen begründen. Es wird explizit angegeben, wie die Varianz der darauf beruhenden Schätzungen für die Beobachtungsstreuung s2 sowohl von der Geometrie des Beobachtungsdesigns als auch von den statistischen Eigenschaften der Beobachtungen abhängt. Durch geeignete Wahl der Beobachtungsgewichte kann diese Varianz minimiert werden. Vorteilhafter ist es aber, diese Freiheit zur Balancierung der statistischen Eigenschaften des ausgeglichenen Modells zu nutzen.

Zusammenfassung: 

A model for balanced least-squares adjustment is proposed. This unifies the statistical and geometrical needs of the adjustment. The usual normal distribution for the residuals is replaced by the Laplacian distribution with variance s2. Since this can be done by entering normal distributed residuals with exponential distributed variances linear estimations of the residuals are justified. Based on these estimations we derive an expression for the variance of the s2 estimations which shows how it depends on the geometrical and statistical properties of the observations. To minimize this estimation variance one has to choose special observation weights. However, it is more reasonable to select these weights so that the statistical behaviour of the fitted model becomes balanced.