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Parallel Gibbs Sampling for Computing and Propagating Large Covariance Matrices

Dieser Beitrag ist in der zfv 1/2004 erschienen.

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Zusammenfassung: 

Das Gibbs-Verfahren zur Inversion großer Normalgleichungsmatrizen und zur Fehlerfortpflanzung mittels der resultierenden Kovarianzmatrizen wird für paralleles Rechnen modifiziert. Die Multiplikation von Matrizen mit Vektoren zur Generierung der Fehlervektoren für die unbekannten Parameter wird durch die Multiplikation von Matrizen ersetzt, so dass die rechentechnisch effizienten BLAS und ATLAS Unterprogramme benutzt werden können. Um die Genauigkeit der berechneten Kovarianzmatrix zu beurteilen, wird ein Kriterium abgeleitet, das während des parallelen Rechnens die Information über die erzielten signifikanten Stellen verschafft. Schließlich wird noch mit Hilfe der Zerlegung der Matrizen in Teilmatrizen, die zur Verringerung der Korrelationen zwischen generierten Fehlervektoren dient, ein Speicherschema für die Matrizen entwickelt, das die Inversion von Normalgleichungen beliebiger Größe erlaubt. Das parallelisierte Gibbs-Verfahren wird auf Normalgleichungen angewendet, wie sie aus der Datenanalyse der neuen Satellitenmissionen für Schwerefeldbestimmungen resultieren. Mit einem parallelen Rechner, der aus 15 Knoten besteht, konnte bei den Berechnungen die Rechengeschwindigkeit um den Faktor von 7.4 im Vergleich zu einem einzigen Rechner erhöht werden.

Summary: 

The Gibbs sampler for inverting large matrices of normal equations and for propagating the resulting covariance matrices is modified for parallel computing. The matrix times vector multiplications for generating the error vectors of the unknown parameters are replaced by matrix times matrix multiplications so that the computationally efficient BLAS and ATLAS subroutines can be applied. To judge the accuracy of the computed covariance matrix a criterion is derived which gives information about the significant digits obtained during the process of the parallel computing. Finally, based on the blocking technique for reducing correlations between the generated error vectors a storage scheme is used which allows the inversion of matrices of normal equations of any size. The parallel Gibbs sampler has been applied for the inversion of normal equations as they result from the data analysis for the new satellite gravity missions. With a parallel computer consisting of 15 nodes the speed of the computations could be increased by a factor of 7.4 in comparison to a single computer.

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